就在格里高利步步紧逼时，艾拉的运算初步得到了结果。
“大师……我没办法按你的要求画出图形。要让面积变为两倍，也就是说新的正方形边长的乘积为二。由于正方形边长相等，也就是说这个数自身和自身的乘积为二。我本想计算一下这是一个什么样的数字……但我算不出来。”
戈特弗里德正为格里高利接连不断的问题发难，艾拉的这句话正好给了他一个岔开话题的机会。他忙不迭地说到：“你是怎么运算的？”
“我参照了你画在门口的那个图形。你利用两个多边形夹逼的方法来计算圆的面积，我也就利用了同样的方法，首先得出这个数介于三分之四和二分之三之间,然后继续寻找二者之间的分数……但不论我怎么寻找，我都没法找出这个数字是什么。”
艾拉的话也吸引了格里高利的注意。他抛下对亚伯拉罕古教会的追究，在一旁说道：“会不会只是你计算的不够深入？”
“不，为此我还特地证明了一下，然后发现……这个数根本不可能存在。”
戈特弗里德的眼中闪过了一道光：“哦？说说你的证明过程。”
“首先，第一个公理，任何一个整数乘于二，都将变为偶数,对吧？”
格里高利在一旁点了点头：“没错,这是不言而明的公理。”
“其次，第二个公理，偶数的平方是偶数，奇数的平方是奇数，也没错吧？”
“不言而喻。”
“那么，我假设这一个数最简单分数表现形式为a/b，它的平方为2，也就是说（a×a）/（b×b）=2，换句话说，2（b×b）=（a×a）。根据第一个公理，（a×a）将是一个偶数，再根据第二个公理，a也是一个偶数。”
“完全正确。”
“既然a是一个偶数，那么a必定可以除于2，得到另一个整数，对么？”
“当然。”
“我们把这个整数用s表示。那么a就等于2s。代入之前那个公式,就变成了2（b×b）=（2s×2s）=4（s×s），化简之后就是（b×b）=2（s×s）。根据第一个公理,（b×b）将是一个偶数，再根据第二个公理，b是一个偶数。
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